罗巴切夫斯基(罗巴切夫斯基几何)

新理论

需要时间的考验

在之前的推送中，超模君介绍了数学天才阿贝尔，尽管阿贝尔数学成就极高，却在生前没有得到认可，他穷困潦倒，去世时只有27岁。

这让超模君想起了另一位伟大的数学家——罗巴切夫斯基（1792年-1856年），他被称为“几何学中的哥白尼”。

逆境中奋斗终生的勇士

哥白尼的故事大家都知道，称罗巴切夫斯基为“几何学中的哥白尼”肯定有跟哥白尼相似的地方吧！就让超模君给大家讲讲罗巴切夫斯基的故事。

罗巴切夫斯基，是俄罗斯数学家、非欧几何学创始人之一。非欧几何（包括罗巴切夫斯基几何和黎曼几何）是人类历史上一个富有创造性的伟大成果，不仅极大地推动了数学发展，而且对现代物理学、天文学以及人类时空观念的革新都产生了深远的影响。

但是新理论的出现，都是需要经受时间的考验的。罗巴切夫斯基几何（简称罗氏几何）也不例外，它一开始并没有引起重视，不但没有被社会接受和称赞，还遭到种种曲解和抨击，直到罗巴切夫斯基去世12年后才被普遍认可。

质疑欧式第五公设

非欧几何是凭空而来的吗？不是的，其实它是由欧式几何推出来的。罗巴切夫斯基试图解决前人无法解决的欧氏第五公设问题，从失败中吸取教训，进而得到一套无矛盾的新几何理论。那么什么是欧式第五公设呢？

欧氏第五公设问题是一道古代数学难题。公元前3世纪，希腊数学家欧几里得（Euclid，约公元前330年-前275）集前人几何研究之大成，编写了数学发展史上具有极其深远意义的数学巨著《几何原本》（超模君家里也“收藏”着一本），

这部著作的重要意义在于，它是用公理法建立严密科学理论体系的最早典范。

于是超模君翻开这本书的第一卷，可以看到以下五条公设：

由任意一点到另外任意一点可以画直线.

一条有限直线可以继续延长.

以任意点为心及任意的距离可以画圆.

凡直角都彼此相等.

同平面内的一条直线和另外两条直线相交，若在某一侧的两个内角的和小于二直角的和，则这而直线经无限延长后在这一侧相交.

其中的第5条，就是我们要讨论的“欧式第五公设”。

超模君画了个图，有模友会疑惑：这不是显然的吗？

然而，有时候越是显然的东西，越不知道怎么去证明——数学家的思维。

数学家们认为第五公设是正确的，他们绞尽脑计，千方百计，却都无法给出一个完美的证明。

1815年，罗巴切夫斯基动手研究平行线理论。刚开始，他也是依照前人的思绪，尝试作出第五公设的证明。在一次次失败后，他心想：证明第五公设正确性的方法总是行不通，会不会可能根本就不存在第五公设的证明呢？

1%的灵感有了，接下来就是99%的汗水。于是他就开始违背常理，开启一条全新的探索真理的航海路线，去寻求第五公设不可证明的解答。正是沿着这一条路线，让罗巴切夫斯基发现了“新大陆”。

其中，他用到了我们做证明题中经常使用的方法——反证法。罗巴切夫斯基不是直接对第五公设做出否定，而是对它的等价命题——普列菲尔公理：“过平面上直线外一点，只能引一条直线与已知直线不相交“作以否定，得到一个否定命题：”过平面上直线外一点，至少可引两条直线与已知直线不相交”，并把这个否定命题和其它公理公设组合成新的公理系统，再进行逻辑推导。

虽然这个普列菲尔公理是超模君和大家都非常熟悉的，但是谁会想到对它加以否定呢？

在“玩”第五公设的过程中，罗巴切夫斯基得到一系列奇奇怪怪的命题，连他自己也不太相信。但是，经过严密验证后，却没有发现它们之间有任何矛盾。于是，他断定，这个“无矛盾”的新公理体系可以构成一种新的几何，称之为“想象几何”（那时候还不叫非欧几何）。这种“想象几何”，很好地反驳了第五公设的可证性，也是对第五公设不可证的逻辑证明。

在冷嘲热讽下奋斗

1826年2月23日，在喀山大学物理数学系学术会议上，罗巴切夫斯基有些激动又忐忑地宣读了他的论文：《几何学原理及平行线定理严格证明的摘要》。出席这次学术会议的学者不乏著名的数学家、天文学家、科学院院士等。

可是，令他们大跌眼镜的是，这位年轻的教授像是喝醉酒一般，说的全是一些“胡话”，诸如三角形的内角和小于180°，而且随着边长增大，内角和还无限变小，直至趋于零；锐角一边的垂线可以和另一边不相交，等等。

这些命题不仅是天方夜谭，与有着两千多年的辉煌历史的欧氏几何相矛盾，而且完全不符合人的日常经验（试想超模君跟你说1+1不等于2你接受么）。你可以想象当时听众的表情，大多在摇头或者目瞪口呆，即使是最宽容的听众也流露出不解与否定的神情。

论文宣讲完毕后，没有一点掌声，也没人愿意去评论，会场鸦雀无声。结束后，学术委员会还邀请西蒙诺夫、古普费尔和博拉斯曼三人对罗巴切夫斯基的论文进行书面鉴定。原本以为有戏，但是他们的态度是否定的，办事拖沓，甚至还把论文弄丢了。真是可悲！

然而，罗巴切夫斯基并没有轻易放弃他心爱的“想象几何”，他拿起笔和纸，继续孤独地战斗，去完善他的几何学理论。3年后，他写出了《几何学原理》的论文，这篇论文是上一篇的强化版，是继承与超越。当这篇论文递交给一些杰出数学家看时，却依然没有得到理解，甚至被指责和攻击：

数学家奥斯特罗格拉茨基：“看来，作者旨在写出一篇使人不能理解的论文。他达到自己的目的。罗巴切夫斯基的这篇论文谬误连篇，因而不值得科学院的注意。”

还有两人在《祖国之子》杂志上发文对他进行人身攻击。

俄国著名数学家布尼雅可夫斯基在《平行线》一书中，试图通过经验主义，来否定非欧几何的存在合理性。

英国著名数学家莫尔甘：“我认为，任何时候也不会存在与欧几里得几何本质上不同的另外一种几何。”

另一方面，就连非欧几何的另一位发现者——德国的大数学家高斯也不愿意公开支持他的研究工作。

不好意思放错了

数学家高斯

高斯在数学界德高望重，这是大家都知道的。只要他出来说一句话：“我认为罗巴切夫斯基研究的几何是无误的！”就有可能减少各种社会舆论和压力了，这样也能加快学术界对非欧几何的认同。

然而现实是骨感的，高斯惧怕顽固的保守派，他缺乏像罗巴切夫斯基那样斗争的勇气。他沉默了。这不仅限制了非欧几何的发展，还助长了保守势力对罗巴切夫斯基的攻击。

晚年的罗巴切夫斯基更受打击，他不仅在学术上不被理解，而且工作也没了。大儿子的离世使他十分伤感。疾病缠身的他也没停止对非欧几何的研究。在双目失明，临去世前一年，他通过口授的方式，完成了最后一部巨著《论几何学》。

直到罗巴切夫斯基去世后12年，意大利数学家贝特拉米发表了一篇著名论文《非欧几何解释的尝试》，证明非欧几何可以在欧氏空间的曲面上实现。这时，沉睡十多年的非欧几何才开始获得数学界的普遍关注和深入研究，罗巴切夫斯基的贡献也由此得到学术界的高度赞美。

在追逐真理的征途上，一个人承受得住外界批判与抨击并不难，可贵的是敢于坚持一生为其奋斗。罗巴切夫斯基就是在逆境中奋斗终生的勇士，称他为“几何学中的哥白尼”也是十分合理的。

罗氏几何与欧式几何的区别

说了这么多，我们还不知道罗氏几何是怎么样的。下面让超模君来普及一下：

凡是不涉及到欧式第五公设的几何命题，在欧氏几何中如果是正确的，在罗氏几何中也同样是正确的。而依赖于平行公理的命题，在罗氏几何中都不成立。我们可以通过一个表格来对比一下：

更有我们意想不到的：

（1）圆周长p不与半径r成正比，而是更加迅速地增长，并符合下面的公式：

（2）罗巴切夫斯基的非欧三角公式：

模友们如果公式看累了，可以感受一下两个模型：

罗巴切夫空间，也称双曲几何空间

黎曼空间，也称椭圆几何空间

如果罗巴切夫斯基还活着，看到后人创立的美丽模型，他会多么开心！

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